Математик загварын жишээ-1





Лотка-Вольтерийн загвар



Нийтэд араатан-золиос загвар нэрээр танигдсан энэхүү загвар нь 2 ширхэг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэлээс бүрддэг бөгөөд биологийн системийн динамикт түгээмэл ашиглагддаг юм. Загварт байгаль дээрх 2 өөр төрлийн амьтан буюу золиос, идэш төрлийн амьтан болон тэднийг идэж хороодог араатан амьтад тулгарахад цаг хугацааны туршид тоо толгой нь хэрхэн өөрчлөгдөхийг доорх тэгшитгэлүүдээр илэрхийлдэг.





Энд, x-золиос амьтдын тоо толгой

у-араатан амьтюдын тоо толгой

dy/dt ба dx/dt – тухайн агшны өсөлтийн хурд

t-хугацаа

α, β, ϒ, δ – 2 төрлийн амьтдын харилцан хамаарлыг дүрслэх эерэг, бодит параметрүүд

Загварын утга санаа:

Араатан-золиос загвар нь хэд хэдэн таамаг ашиглаж байгаа.

1. Золиос амьтдын сүрэг нь үргэлж хоол тэжээлээр хангалттай байна.

2. Араатан амьтдын хоол хүнсний нөөц нь золиос амьтдын тоо толгойн хэмжээнээс хамаарна.

3. Тоо толгойн өсөлтийн хурд нь тоо толгойн хэмжээтэйгээ пропроционал хамааралтай.

4. Явцын дунд хүрээлэн буй орчин нь аль нэг амьтдаас хамааран өөрчлөгдөхгүй.

Дифференциал тэгшитгэл ашиглаж буй учир гарч буй шийд нь тасралтгүй байна.

Золиос:

Золиос амьтдыг илэрхийлсэн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна dx/dt=αх-βxy

Золиос амьтдын хоол хүнс хангалттай бөгөөд араатан амьтадтай тулгараагүй үед тоо толгой нь экспоненциалаар өсдөг гэж үзсэн. Энэ экспоненциал өсөлтийг эхний тэгшитгэлд αх хэлбэрээр

илэрхийлсэн байна. Золиос амьтдын тоо толгой буурах хурд нь тэдний араатан амьтадтай тулгарах тохиолдолтой пропорционал байна. Үүнийг тэгшитгэлд βxy хэлбэрээр илэрхийлсэн байна. Хэрэв х ба у аль нэг нь 0 бол тэнд ан хийх ямар нэгэн процесс явагдахгүй гэсэн үг юм.

Эдгээр хоёр нөхцлийг тусгаснаар дээрх тэгшитгэл нь золиос амьтдын тоо толгойн өөрчлөлт нь өсөлтийн хурднаас араатан амьтдад бариулж золиос болох хурдыг хассан байдалтай байна.



Араатан:

Золиос амьтдыг иллэрхийлсэн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: dy/dt=δxy-ϒy

δxy нь араатан амьтдын тоо толгойн өсөлтийг харуулж байна. Энэ нь золиосны тоо толгойн бууралтыг харуулсан хэсэгтэй ижил боловч тогтмол параметр нь өөр байгааг анзаараарай. Энэ нь тэд золиос амьтдыг идсэн хэрээрээ адилхан хэмжээгээр өсөж үрждэггүйтэй холбоотой. ϒ нь араатан амьтад байгалийн жамаараа үхэх, эсвэл нутаг сэлгэн нүүдэллэн явах зэргээр хорогдож буй тоо толгойн бууралтыг харуулж байна.

Тиймээс уг тэгшитгэл нь араатан амьтдын тоо толгойн өсөлтөөс бууралтыг хассан байдалтай байна.